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Matemáticas, Platón y Penrose
Estoy releyendo un libro de Roger Penrose titulado "La nueva mente del emperador". Tiene ya algunos años, pero recibí no hace mucho el último libro que ha publicado Penrose, "The Road to Relity" y al empezar a leerlo sentí la necesidad de repasar el anterior, con carácter previo. Y en "La nueva mente del Emperador" he vuelto a tropezar con un asunto que Penrose trata en casi todos sus escritos: la realidad platónica de las matemáticas. No sé si a alguno de ustedes le puede interesar el tema, pero confieso que a mi me fascina. Así que si me lo permiten, voy a copiar aquí alguna de las reflexiones que hace Penrose para intentar contagiarles mi entusiasmo por el asunto. Advierto de antemano que no tengo clara mi opinión sobre si los conceptos matemáticos están ahí, reales y esperando ser descubiertos, o son sólo construcciones de la mente. Creo que hay buenas razones para las dos posturas.
Les pongo en situación. Penrose explica en el libro el conjunto de Mandelbrot, los conocidos objetos fractales, una construcción matemática, de extraordinaria complejidad en su forma, que sin embargo, se define de una manera decididamente simple (si les interesa el asunto no es que yo sepa demasiado sobre él, pero algo puedo ampliarlo).
Y es al hilo de este conjunto de Mandelbrot donde Penrose hace las siguientes reflexiones (he omitido algunos párrafos que no aportaban nada sustancial y sólo tienen sentido en el contexto del libro),:
Cita:
¿REALIDAD PLATÓNICA DE LOS CONCEPTOS MATEMÁTICOS?
Hasta qué punto son "reales" los objetos del mundo del matemático?. Desde un cierto punto de vista parece que no puede haber nada real en ellos. Los objetos matemáticos son sólo conceptos; son idealizaciones mentales que hacen los matemáticos, a menudo estimulados por el orden aparente de ciertos aspectos del mundo que nos rodea, pero idealizaciones mentales en cualquier caso. ¿Pueden ser algo más que meras construcciones arbitrarias de la mente humana? Al mismo tiempo parece que existe alguna realidad profunda en estos conceptos matemáticos que va más allá de las elucubraciones mentales de un matemático particular. En lugar de ello, es como si el pensamiento matemático estuviese siendo guiado hacia alguna verdad exterior —una verdad que tiene realidad por sí misma y que sólo se nos revela parcialmente a alguno de nosotros.
El conjunto de Mandelbrot, proporciona un ejemplo sorprendente. Su estructura maravillosamente elaborada no fue la invención de ninguna persona, ni el diseño de un equipo de matemáticos. El propio Benoit Mandelbrot, el matemático polaco-estadounidense (protagonista de la teoría fractal) que primero3 estudió el conjunto no tenía ninguna concepción previa acerca de la fantástica elaboración inherente al mismo, aunque sabía que estaba en la pista de algo muy interesante. De hecho, cuando empezaron a surgir sus primeras imágenes de computadora, él tuvo la impresión de que las estructuras difusas que estaba viendo eran el resultado de un mal funcionamiento de la computadora Sólo más tarde llegó a convencerse de que estaban realmente en el propio conjunto. Además, los detalles completos de la compleja estructura del conjunto de Mandelbrot no pueden ser aprehendidos realmente por ninguno de nosotros, ni pueden ser completamente revelados por una computadora. Parecería que esta estructura no es sólo parte de nuestras mentes sino que tiene una realidad autónoma. Cualquiera que sea el entusiasta matemático o computadora que decida examinar el conjunto, encontrará aproximaciones a la misma estructura matemática fundamental. No hay ninguna verdadera diferencia que dependa de la computadora que se utilice para hacer los cálculos (siempre que la computadora tenga una precisión suficiente), aparte del hecho de que las diferencias en velocidad y memoria de la computadora, y capacidades de representación gráfica, puedan conducir a diferencias en los detalles finos que saldrán a la luz y en la velocidad con que se produce este detalle. La computadora está siendo utilizado esencialmente de la misma forma en que el físico experimental utiliza un aparato experimental para explorar la estructura del mundo físico. El conjunto de Mandelbrot no es una invención de la mente humana; fue un
descubrimiento. Al igual que el Monte Everest, el conjunto de Mandelbrot está ahí.
[...]
¿Es la matemática invención o descubrimiento? Cuando los matemáticos obtienen sus resultados ¿están produciendo solamente elaboradas construcciones mentales que no tienen auténtica realidad, pero cuyo poder y elegancia basta simplemente para engañar incluso a sus inventores haciéndoles creer que estas construcciones mentales son "reales"? ¿O están descubriendo realmente verdades que estaban ya "ahí", verdades cuya existencia es independiente de las actividades de los matemáticos? Creo que, por ahora, debe quedar muy claro para el lector que me adhiero al segundo punto de vista, más que al primero, al menos con respecto a estructuras como los números complejos y el conjunto de Mandelbrot.
Pero quizá la cuestión no sea tan sencilla como esto. Como ya he dicho, hay cosas en las matemáticas, tales como los ejemplos que acabo de citar, para las que el término "descubrimiento" es mucho más apropiado que "invención". Existen los casos en que sale de la estructura mucho más de lo que se introdujo al principio. Podríamos adoptar el punto de vista de que en tales casos los matemáticos han tropezado con "obras de Dios". Sin embargo, existen otros casos en los que la estructura matemática no tiene esa compulsiva unicidad; por ejemplo, cuando en medio de la demostración de algún resultado el matemático encuentra necesario introducir alguna construcción artificial, y de ningún modo única, para conseguir algún fin muy específico. En tales casos, no es probable que se obtenga nada más de la construcción que lo que se puso al principio, y la palabra "invención" parece más apropiada que "descubrimiento". Estas son "obras del hombre". Desde este punto de vista, los auténticos descubrimientos matemáticos serían considerados, de forma general, como consecuciones o aspiraciones más altas que lo que serían las "meras" invenciones.
Tales clasificaciones no son muy diferentes de las que podríamos utilizar en las artes o la ingeniería. Las grandes obras de arte están "más cerca de Dios" que las obras menores. Es un sentir no poco común entre los mayores artistas que en sus obras están revelando verdades eternas que tienen algún tipo de existencia etérea previa,* mientras que sus obras menores podrían ser más arbitrarias, de la misma naturaleza de las meras construcciones mortales. De modo análogo, una innovación de bella sencillez en ingeniería, con la que abre una enorme perspectiva para la aplicación de alguna idea simple e inesperada, podría ser descrita con propiedad como un descubrimiento más que una invención.
No obstante, después de hacer estos comentarios no puedo evitar el sentimiento de que, en el caso de las matemáticas, la creencia en algún tipo de existencia etérea y eterna, al menos para los conceptos más profundamente matemáticos, es mucho más fuerte que en los otros casos. Hay en tales ideas matemáticas una compulsiva unicidad y universalidad que parecen ser de un orden diferente del que se pudiera esperar en las artes o la ingeniería. El punto de vista de que los conceptos matemáticos podrían existir en ese sentido etéreo e intemporal fue planteado en tiempos antiguos (c. 360 a.C.) por el gran filósofo griego Platón. En consecuencia, este punto de vista es calificado a veces de platonismo matemático.
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Predecir es difícil. Sobre todo el futuro.
-"...5,.1, 4, 1, 3. ¡Listo! -exclamó el demacrado anciano.
-Pareces exhausto. ¿Qué has estado haciendo?
-Recitando de atrás para adelante la expresión decimal completa de pi
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04-noviembre-2005, 11:25
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